[2018高考数学模拟卷]2018届自贡市高考数学模拟试卷题目及答案

　　高考数学主要考察考生，基本计算的准确与速度，通过多做一些模拟试卷将有助于我们的高考数学成绩，以下是烟花美文网小编为你整理的2018届自贡市高考数学模拟试卷，希望能帮到你。

　　2018届自贡市高考数学模拟试卷题目

　　一、选择题

　　1.设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=(　　)

　　A.{1，2} B.{0，1，2，3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}

　　2.若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个取旅游，那么恰好选1个滨海城市的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　3.已知复数z=1+i，则 等于(　　)

　　A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2

　　4.设变量x，y满足线性约束条件 则目标函数z=2x+4y的最小值是(　　)

　　A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6

　　5.阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为(　　)

　　A.7 B.15 C.31 D.63

　　6.已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若 ﹣ =100，则d的值为(　　)

　　A. B. C.10 D.20

　　7.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)

　　A.若α⊥β，m⊥α，则m∥β B.若m⊥α，n∥α，则m⊥n

　　C.若m∥α，n∥α，则m∥n D.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

　　8.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若sinA=2 sinB， ，则△ABC的面积为(　　)

　　A. B. C. D.

　　9.给出下列命题：

　　①函数y=cos( ﹣2x)是偶函数;

　　②函数y=sin(x+ )在闭区间上是增函数;

　　③直线x= 是函数y=sin(2x+ )图象的一条对称轴;

　　④将函数y=cos(2x﹣ )的图象向左平移 单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

　　A. B. C. D. +2

　　11.已知函数f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f(a2)+f(a﹣2)>4，则实数a的取值范围(　　)

　　A.(﹣∞，1) B.(﹣∞，3) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)

　　12.已知双曲线C： ﹣ =1(a>0，b>0)，过双曲线右焦点F倾斜角为 的直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N.若|FM|=2|FN|，则该双曲线的离心率等于(　　)

　　A. B. C. 或 D. 或

　　二、填空题

　　13.设等比数列{an}的公比q= ，前n项和为Sn，则 =　　.

　　14.已知向量 ， ，其中| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，则向量 ， 的夹角是　　.

　　15.关于函数f(x)=ln ，有下列三个命题：

　　①f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞);

　　②f(x)为奇函数;

　　③f(x)在定义域上是增函数;

　　④对任意x1，x2∈(﹣1，1)，都有f(x1)+f(x2)=f( ).

　　其中真命题有　　(写出所有真命题的番号)

　　16.如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道.已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍，AD=1米.若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于　　.

　　三、解答题

　　17.已知函数f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

　　(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

　　(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值.

　　18.如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点.

　　(Ⅰ)如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ;

　　(Ⅱ)如果∠AOQ=60°，QB=2 ，求该圆锥的体积.

　　19.某超市计划每天购进某商品若干件，该超市每销售一件该商品可获利润80元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损20元;若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.

　　(Ⅰ)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式;

　　(Ⅱ)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件，n∈N)，整理得下表：

　　日需求量 7 8 9 10 11 12

　　频数 5 7 10 14 10 4

　　若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率.

　　20.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为e= ，它的一个顶点的坐标为(0，﹣1)

　　(Ⅰ)求椭圆C的方程;

　　(Ⅱ)若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣ x+ 对称，求△OAB的面积的最大值(O为坐标原点).

　　21.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).

　　(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x﹣1，求实数a，b的值;

　　(2)在(1)的b下，当a≥2时，讨论函数f(x)的零点的个数.

　　请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

　　22.在直角坐标系xoy中，直线l过点M(3，4)，其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.

　　(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的普通方程;

　　(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值.

　　23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2

　　(Ⅰ)解不等式f(x)≥0

　　(Ⅱ)若存在实数x，使得f(x)≤|x|+a，求实数a的取值范围.

　　2018届自贡市高考数学模拟试卷答案

　　一、选择题

　　1.设集合A={x∈N|，0≤x≤2}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∪B=(　　)

　　A.{1，2} B.{0，1，2，3} C.{x|1≤x≤2} D.{x|0≤x≤3}

　　【考点】1D：并集及其运算.

　　【分析】化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B.

　　【解答】解：集合A={x∈N|，0≤x≤2}={0，1，2}，

　　B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，

　　则A∪B={0，1，2，3}.

　　故选：B.

　　2.若从2个滨海城市和2个内陆城市中随机选取1个取旅游，那么恰好选1个滨海城市的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】CB：古典概型及其概率计算公式.

　　【分析】先求出基本事件总数n=4，再求出恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，由此能求出恰好选1个海滨城市的概率.

　　【解答】解：从2个海滨城市和2个内陆城市中随机选1个去旅游，

　　基本事件总数n=4

　　恰好选1个海滨城市包含的基本事件个数m=2，

　　恰好选1个海滨城市的概率是p= = .

　　故选：D.

　　3.已知复数z=1+i，则 等于(　　)

　　A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2

　　【考点】A7：复数代数形式的混合运算.

　　【分析】复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为a+bi的形式即可.

　　【解答】解：因为复数z=1+i，

　　所以 = = =﹣ =2i.

　　故选A.

　　4.设变量x，y满足线性约束条件 则目标函数z=2x+4y的最小值是(　　)

　　A.6 B.﹣2 C.4 D.﹣6

　　【考点】7C：简单线性规划.

　　【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.

　　【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，

　　联立 ，解得A(3，﹣3)，

　　化目标函数z=2x+4y为y= x+ ，

　　由图可知，当直线y= x+ 过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6﹣12=﹣6，

　　故选：D.

　　5.阅读右边程序框图，当输入的值为3时，运行相应程序，则输出x的值为(　　)

　　A.7 B.15 C.31 D.63

　　【考点】EF：程序框图.

　　【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31.

　　【解答】解：模拟程序的运行，可得

　　x=3，n=1

　　满足条件n≤3，执行循环体，x=7，n=2

　　满足条件n≤3，执行循环体，x=15，n=3

　　满足条件n≤3，执行循环体，x=31，n=4

　　不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为31.

　　故选：C.

　　6.已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若 ﹣ =100，则d的值为(　　)

　　A. B. C.10 D.20

　　【考点】85：等差数列的前n项和.

　　【分析】由等差数列{an}可得： = d= n+ 为等差数列，即可得出.

　　【解答】解：由等差数列{an}可得： = d= n+ 为等差数列，

　　∵ ﹣ =100，

　　∴ + ﹣ =100，

　　∴10d=1，解得d= .

　　故选：B.

　　7.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)

　　A.若α⊥β，m⊥α，则m∥β B.若m⊥α，n∥α，则m⊥n

　　C.若m∥α，n∥α，则m∥n D.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

　　【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系.

　　【分析】A：漏掉了m⊂β.B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的.C：漏掉了m与n相交、异面的情况.D：可以举出墙角的例子.

　　【解答】解：A：直线m也可以在平面β内.

　　B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的.

　　C：m与n可能平行也可能相交也可能异面.

　　D：α与β也可以相交.可以举出墙角的例子.

　　故选B.

　　8.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若sinA=2 sinB， ，则△ABC的面积为(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】HP：正弦定理;HR：余弦定理.

　　【分析】根据题意，由正弦定理可得a=2b，进而由余弦定理可得a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16，解可得b的值，进而可得a的值，由三角形面积公式计算可得答案.

　　【解答】解：根据题意，△ABC中，若sinA=2sinB，则有a=2b，

　　c2=a2+b2﹣2abcosC=5b2﹣4b2cos =16，

　　解可得b= ，则a=2b= ，

　　则S△ABC= absinC= ，

　　故选：A.

　　9.给出下列命题：

　　①函数y=cos( ﹣2x)是偶函数;

　　②函数y=sin(x+ )在闭区间上是增函数;

　　③直线x= 是函数y=sin(2x+ )图象的一条对称轴;

　　④将函数y=cos(2x﹣ )的图象向左平移 单位，得到函数y=cos2x的图象，其中正确的命题的个数为(　　)

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考点】HJ：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

　　【分析】利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性;求出函数y=sin(x+ )的增区间，判断②的正误;

　　直线x= 代入函数y=sin(2x+ )是否取得最值，判断③的正误;利用平移求出解析式判断④的正误即可.

　　【解答】解：①函数y=sin( ﹣2x)=sin2x，它是奇函数，不正确;

　　②函数y=sin(x+ )的单调增区间是，k∈Z，在闭区间上是增函数，正确;

　　③直线x= 代入函数y=sin(2x+ )=﹣1，所以x= 图象的一条对称轴，正确;

　　④将函数y=cos(2x﹣ )的图象向左平移 单位，得到函数y=cos(2x+ )的图象，所以④不正确.

　　故选：B.

　　10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

　　A. B. C. D. +2

　　【考点】L!：由三视图求面积、体积.

　　【分析】如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，利用三角形面积计算公式即可得出.

　　【解答】解：如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，

　　该几何体的表面积S= +1×1+ + +

　　= .

　　故选：A.

　　11.已知函数f(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f(a2)+f(a﹣2)>4，则实数a的取值范围(　　)

　　A.(﹣∞，1) B.(﹣∞，3) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)

　　【考点】3N：奇偶性与单调性的综合.

　　【分析】根据题意，令g(x)=f(x)﹣2，则g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g(x)的奇偶性与单调性，则f(a2)+f(a﹣2)>4，可以转化为g(a2)>﹣g(a﹣2)，结合函数的奇偶性与单调性分析可得a2<2﹣a，解可得a的范围，即可得答案.

　　【解答】解：根据题意，令g(x)=f(x)﹣2，

　　则g(x)=f(x)﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，

　　g(﹣x)=﹣2(﹣x)5﹣(﹣x)3﹣7(﹣x)=﹣(﹣2x5﹣x3﹣7x)，则g(x)为奇函数，

　　而g(x)=﹣2x5﹣x3﹣7x，则g′(x)=﹣10x4﹣2x2﹣7<0，则g(x)为减函数，

　　若f(a2)+f(a﹣2)>4，则有f(a2)﹣2>﹣，

　　即g(a2)>﹣g(a﹣2)，

　　即g(a2)>g(2﹣a)，

　　则有a2<2﹣a，

　　解可得﹣2

　　即a的取值范围是(﹣2，1);

　　故选：D.

　　12.已知双曲线C： ﹣ =1(a>0，b>0)，过双曲线右焦点F倾斜角为 的直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N.若|FM|=2|FN|，则该双曲线的离心率等于(　　)

　　A. B. C. 或 D. 或

　　【考点】KC：双曲线的简单性质.

　　【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论b>a>0，可得N为FM的中点.当a>b>0时，可得 =﹣2 ，求出直线MN的方程，联立渐近线方程可得M，N的坐标，求得b=3a或a=3b，再由离心率公式即可得到所求值.

　　【解答】解：双曲线C： ﹣ =1的渐近线方程为y=± x，

　　当b>a>0时，如右图.

　　若|FM|=2|FN|，可得N为FM的中点.

　　由直线MN：y=x﹣c，联立y= x，可得M( ， )，

　　由直线MN：y=x﹣c，联立y=﹣ x，可得N( ，﹣ )，

　　由F(c，0)，可得﹣ = ，

　　化简为b=3a，

　　即有e= = = = ;

　　当a>b>0时，如右图.

　　若|FM|=2|FN|，可得 =﹣2 ，

　　由直线MN：y=x﹣c，联立y= x，可得M( ， )，

　　由直线MN：y=x﹣c，联立y=﹣ x，可得N( ，﹣ )，

　　由F(c，0)，可得 =﹣2•(﹣ )，

　　化简为a=3b，

　　即有e= = = = .

　　则该双曲线的离心率等于 或 .

　　故选：D.

　　二、填空题

　　13.设等比数列{an}的公比q= ，前n项和为Sn，则 =　 　.

　　【考点】8G：等比数列的性质.

　　【分析】利用等比数列的通项与求和公式，即可求出 .

　　【解答】解：∵等比数列{an}的公比q= ，

　　∴S4= = a1，a2= a1，

　　∴ = = .

　　故答案为： .

　　14.已知向量 ， ，其中| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，则向量 ， 的夹角是　 　.

　　【考点】9R：平面向量数量积的运算.

　　【分析】利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向量 ， 的夹角

　　【解答】解：设向量 ， 的夹角为θ，

　　∵| |= ，| |=2，且( + )⊥ ，

　　∴( + )• = + = +| |•| |cosθ=2+2 cosθ=0，

　　解得cosθ=﹣ ，

　　∵0≤θ≤π，

　　∴θ= ，

　　故答案为：

　　15.关于函数f(x)=ln ，有下列三个命题：

　　①f(x)的定义域为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞);

　　②f(x)为奇函数;

　　③f(x)在定义域上是增函数;

　　④对任意x1，x2∈(﹣1，1)，都有f(x1)+f(x2)=f( ).

　　其中真命题有　②④　(写出所有真命题的番号)

　　【考点】4N：对数函数的图象与性质.

　　【分析】由函数f(x)=ln =ln( )，根据函数的各性质依次判断各选项即可.

　　【解答】解：函数f(x)=ln =ln( )，

　　其定义域满足：(1﹣x)(1+x)>0，解得：﹣1

　　由f(﹣x)=ln =ln =ln( )﹣1=﹣ln =﹣f(x)，是奇函数，∴②对.

　　定义域为{x|﹣1

　　f(x1)+f(x2)=ln +ln =ln( × )=f( ).∴④对.

　　故答案为②④

　　16.如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为3米，宽为2.2米，欲通过断面上部为抛物线形，下部为矩形ABCD的隧道.已知拱口宽AB等于拱高EF的4倍，AD=1米.若设拱口宽度为t米，则能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于　9　.

　　【考点】K9：抛物线的应用.

　　【分析】建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，即可求出求出能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值.

　　【解答】解：建立如图所示的坐标系，则B( ，﹣ )，

　　设抛物线方程为x2=ay，则 ，∴a=﹣t，

　　∴x2=﹣ty，

　　由题意，x=1.1，y=﹣

　　∴﹣ + ≥2，

　　t=8，﹣ + <2，t=9，﹣ + >2，

　　∴能使载重卡车通过隧道时t的最小整数值等于9.

　　故答案为9.

　　三、解答题

　　17.已知函数f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

　　(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;

　　(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值.

　　【考点】HW：三角函数的最值;H1：三角函数的周期性及其求法.

　　【分析】(Ⅰ)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期

　　(Ⅱ)x∈上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最大值.

　　【解答】解：函数f(x)=4sinxcos(x﹣ )+1.

　　化简可得：f(x)=4sinxcosxcos +4sin2xsin +1

　　= sin2x+1﹣cos2x+1=2sin(2x )+2.

　　(Ⅰ)∴函数f(x)的最小正周期T= .

　　(Ⅱ)∵x∈上时，

　　∴2x ∈

　　当2x = 时，函数f(x)取得最大值为2× = .

　　∴函数f(x)在区间上的最大值为 .

　　18.如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点.

　　(Ⅰ)如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ;

　　(Ⅱ)如果∠AOQ=60°，QB=2 ，求该圆锥的体积.

　　【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积;LW：直线与平面垂直的判定.

　　【分析】(Ⅰ)连接OC，AQ，由已知可得OC∥AQ，再由AB为圆的直径，可得OC⊥BQ，由SO⊥平面ABQ，得SO⊥BQ，由线面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC，进一步得到平面SBQ⊥平面SOC，由面面垂直的性质可OH⊥平面SBQ;

　　(Ⅱ)由已知求解三角形可得OQ=OA=2，SA=4，则SO= .由已知体积公式求得圆锥的体积.

　　【解答】(Ⅰ)证明：连接OC，AQ，

　　∵O为AB的中点，且BQ的中点为C，

　　∴OC∥AQ，

　　∵AB为圆的直径，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，

　　∵SO⊥平面ABQ，∴SO⊥BQ，

　　又SO∩OC=O，∴BQ⊥平面SOC，

　　则平面SBQ⊥平面SOC，

　　又平面SBQ∩平面SOC=SC，OH⊥SC，

　　∴OH⊥平面SBQ;

　　(Ⅱ)解：∵∠AOQ=60°，QB=2 ，∴OC=1，OQ=OA=2，SA=4，

　　则SO= .

　　∴圆锥的体积V= .

　　19.某超市计划每天购进某商品若干件，该超市每销售一件该商品可获利润80元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损20元;若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.

　　(Ⅰ)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式;

　　(Ⅱ)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件，n∈N)，整理得下表：

　　日需求量 7 8 9 10 11 12

　　频数 5 7 10 14 10 4

　　若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率.

　　【考点】5D：函数模型的选择与应用.

　　【分析】(Ⅰ)分类求出函数解析式，即可得出利润y关于需求量n的函数解析式;

　　(Ⅱ)利润在区间内，日需求量为10、11、12，其对应的频数分别为14、10、4，即可求出概率.

　　【解答】解：(Ⅰ)当日需求量n≥10时，

　　利润为y=80×10+(n﹣10)×40=40n+400; …

　　当日需求量n<10时，利润为y=80n﹣(10﹣n)×20=100n﹣200.…

　　所以利润y关于需求量n的函数解析式为y= …

　　(Ⅱ)50天内有5天获得的利润为500元，有7天获得的利润为600元，有10天获得的利润为700元，有14天获得的利润为800元，有10天获得的利润为840元，有4天获得的利润为880元.…

　　若利润在区间内，日需求量为10、11、12，其对应的频数分别为14、10、4.…

　　则利润在区间内的概率为 =0.56. …

　　20.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为e= ，它的一个顶点的坐标为(0，﹣1)

　　(Ⅰ)求椭圆C的方程;

　　(Ⅱ)若椭圆C上存在两个不同的点A、B关于直线y=﹣ x+ 对称，求△OAB的面积的最大值(O为坐标原点).

　　【考点】KL：直线与椭圆的位置关系;K3：椭圆的标准方程.

　　【分析】(I)由题意可得： = ，b=1，a2=b2+c2，联立解得a，b，c即可得出.

　　(II)直线AB的方程为：y=mx+n.与椭圆方程联立化为：(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0，△>0，可得1+2m2>n2.设A(x1，y1)，B(x2，y2).利用根与系数的关系可得线段AB的中点G ，代入直线y=﹣ x+ ，可得：n=﹣ .利用|AB|= .d= ，可得S△OAB= |AB|•d，再利用二次函数的单调性即可得出.

　　【解答】解：(I)由题意可得： = ，b=1，a2=b2+c2，

　　联立解得a= ，b=c=1.

　　∴椭圆C的方程为： +y2=1.

　　(II)直线AB的方程为：y=mx+n.联立 ，化为：(1+2m2)x2+4mnx+2n2﹣2=0，

　　△=16m2n2﹣4(1+2m2)(2n2﹣2)>0，

　　∴1+2m2>n2.

　　设A(x1，y1)，B(x2，y2).

　　∴x1+x2= ，x1•x2= ，

　　∴线段AB的中点G ，代入直线y=﹣ x+ ，可得：n=﹣ .

　　∴x1+x2=2m，x1•x2= ，

　　∴|AB|= = •

　　= • .

　　d= = .

　　∴S△OAB= |AB|•d= ×(1+2m2)ו .

　　令1+2m2=t>1，则S△OAB= =f(t)，(1

　　当t=1+2m2=2时，即m2= 时，S△OAB的最大值为 .

　　21.已知函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b(a>0).

　　(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x﹣1，求实数a，b的值;

　　(2)在(1)的b下，当a≥2时，讨论函数f(x)的零点的个数.

　　【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程;54：根的存在性及根的个数判断.

　　【分析】(1)求出函数f(x)的导数，由已知切线的方程可得f(1)=0，f′(1)=1，解方程可得a，b的值;

　　(2)求出f(x)的导数，并分解因式，讨论a=2，a>2，判断导数的符号，求得单调区间，由f(1)=0，运用构造函数法，求出导数，判断单调性，即可得到所求结论.

　　【解答】解：(1)函数f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+b的导数为f′(x)=2ax﹣(a+2)+ ，

　　可得函数f(x)在x=1处的切线斜率为k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1，

　　由切线方程y=x﹣1，可得a﹣1=1，解得a=2;

　　由f(1)=a﹣a﹣2+0+b=0，解得b=2.

　　(2)f(x)=ax2﹣(a+2)x+lnx+2(x>0，a≥2)，

　　导数为f′(x)=2ax﹣(a+2)+ = = ，

　　当a=2时，f′(x)≥0在(0，+∞)恒成立，f(x)在(0，+∞)递增，由f(1)=a﹣a﹣2+0+2=0，

　　可得f(x)此时有一个零点;

　　当a>2，即0< < 时，由f′(x)>0可得x> 或0

　　即有f(x)的增区间为(0， )，( ，+∞)，减区间为( ， )，

　　由f(1)=0，可得f(x)在( ，+∞)有且只有一个零点，且f( )<0.

　　f( )=1﹣lna﹣ ，设g(x)=1﹣ ﹣lnx(x>2)，g′(x)= <0(x>2)，

　　可得g(x)在(2，+∞)递减，可得g(x)

　　于是f( )<0，f(x)在(0， )无零点，

　　故a>2时，f(x)有且只有一个零点.

　　综上可得，a≥2时，f(x)有且只有一个零点.

　　请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

　　22.在直角坐标系xoy中，直线l过点M(3，4)，其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.

　　(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的普通方程;

　　(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值.

　　【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程.

　　【分析】(Ⅰ)直线l过点M(3，4)，其倾斜角为45°，参数方程为 ，(t为参数).由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C的普通方程;

　　(Ⅱ)直线l的参数方程代入圆方程得 +9=0，利用|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|即可得出.

　　【解答】解：(Ⅰ)直线l过点M(3，4)，其倾斜角为45°，参数方程为 ，(t为参数).

　　圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0;

　　(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆方程得： +9=0，

　　设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=5 ，t1t2=9，

　　于是|MA|•|MB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=9.

　　23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2

　　(Ⅰ)解不等式f(x)≥0

　　(Ⅱ)若存在实数x，使得f(x)≤|x|+a，求实数a的取值范围.

　　【考点】R5：绝对值不等式的解法.

　　【分析】(Ⅰ)化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集.

　　(Ⅱ)不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由题意可得，不等式①有解.根据绝对值的意义可得|x+ |﹣|x|∈，故有 +1≥﹣ ，由此求得a的范围.

　　【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2= ，

　　当x<﹣ 时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3.

　　当﹣ ≤x<0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅.

　　当x≥0时，由x﹣1≥0，求得 x≥1.

　　综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}.

　　(Ⅱ)f(x)≤|x|+a，即|x+ |﹣|x|≤ +1①，由题意可得，不等式①有解.

　　由于|x+ |﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+ |﹣|x|∈，

　　故有 +1≥﹣ ，求得a≥﹣3.

[2018高考数学模拟卷]2018届自贡市高考数学模拟试卷题目及答案